算学 computgraphy

前言

本文全部摘自算学教材，由 lzy（路） 和 dzy（段） 主编。

算学是一门古老的学科，迄今已有悠久的发展历史。其为研究计算工具的结构与性质的一门自然科学。算学的可考历史最早由衡水中学开创，由 zzr（周） 先辈传入一中。在段、路二人的不懈努力下，算学已在卡西欧 fx-991CN 计算器的原型上取得理论和实验上的重大突破，使算学初具体系与规模。

算学是一门年轻的、尚在发展的科学。算学的进步是曲折螺旋的，需要一批批算学研究者的不懈钻研与勇于牺牲的精神，才能使算学继续进步，造福广大人民群众，揭示计工具的内在规律与奥秘。

故编者自撰为册，望对广大算学工作者有所助益。限于个人经验与学识水平，难免疏漏，敬请批评指正。

编者

二〇二二年八月十四日

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在本算学教材中，使用的计算器为卡西欧 fx-991CN 型号（VerC），使用高于或低于此版本型号的计算器将无法得到与书中内容和现象相同或类似的结果。

在算学研究过程中，计算器可能会出现如下的卡死现象：

• 全卡死（全 G，即 all GG）：指只能通过拆卸电池才可以使计算器复原并重新正常使用的卡死。^1
• 半卡死（半 G，即 half GG）：按任意键除 开机 以外的键均无反应甚至进入全 G，但按 开机 键可以复原的卡死。
• 如卡死（如 G，即 quarter GG）：类似于半卡死，但复原后计算器的储存数据和配置仍然保留的卡死。

在算学研究过程中，全卡死的现象是家常便饭，尤其是伟大的先驱开辟算学的时候，不少计算器甚至为其付出了生命的代价。算学是一门历程艰难而悲壮的科学，同学同志学习时请务必注意安全，并随时准备好螺丝刀以免意外。

不过，在严格按照本书的指示下操作的情况下，本书的所有公式均不会造成全卡死。

基本信息

在使用 fx-991CN 前，需要了解其基本性质，也就是参数状态和好坏状态。使用前为了排除干扰，需要将计算器复位。然后进行如下事宜的确认与查询：

• Version：fx-991CN 分为两大常见 Version：VerB 和 VerC。市面上大多以 VerC 为主。VerB 和 VerC 的差距不大，公式大多可以通用。本书的实验与推导均以 VerC 的结果为准。
• 序列号：序列号是计算器表征个体的属性唯一编号，出厂时就已经决定，不可更改。
• 按键检查：检查计算器所有的按键是否完好。

检查以上基本参数的方法为：

1. 同时按住计算器上的 shift、7 和 开机 键，即可进入厂商界面。
2. 按 9，此时屏幕上显示数个数字 8。
3. 按 shift 五次，每次按动后屏幕都会变动（纯黑、纯白、密集点纹、密集点纹+不显示状态栏、Ver 型界面），然后查看 Version。
4. 依次按 菜单、AC，查看序列号。
5. 按 =[^2]，进入按键检查模式。从上到下，从左到右依次按计算器上除了 开机 之外的按键，每次按动对应键时屏幕上的数字就会加一。
6. 全部按动完毕后，进入调整对比度的界面，按 开机 强制退出此流程即可，也可以按 AC 结束对比度调整。

此外，卡西欧中的上下左右四个方向的箭头，在本文中将以 上、下、左、右 来表示其按键。

在确认以上事宜并检查基本信息无误之后，即可进入算学的基本学习。

[^2]: 在未经特殊说明的前提下，= 指计算器右下角的等于键。若需要按下 CALC 键上的等于，会记作 =R。

段路入口

段路入口之于算学，犹如薛定谔方程之于量子力学，麦克斯韦方程之于电动力学。——dzy

调出段路入口（D-L Entrance）是研究算学的最基础操作，段路入口是研究算学大部分内容、进行算学中大部分符号有关的制备与实验的唯一已知途径。

段路入口的进入方式如下：

1. 输入一个任意一位数字，比如 0。在后文中，将使用 Num 表示一个任意的一位数字。
2. shift、8、下、2、7、=。
3. 按 上 将进度回溯到以上历史算式，按一次 左 将光标移动至数字前。

此时就得到了一个段路入口。

隐算符与隐光标

隐算符理论（hiden operator theory）认为，计算器工作的对象为算符（operator），算符的种类、数目、排列方式如氨基酸之于蛋白质般决定了一则运算。算符之间的相互作用与排列形成算式。可以浅显地理解为，算符就是计算器中的“字符”（character）这一概念。在计算器中，一部分算符不会显示，而算学的一大主要任务就是寻找这些隐算符并探究算符间相互作用规律。

隐算符理论已经被算学界广泛接受。

段路入口在 Num 前后各存在一个隐算符，将其记作 [dl, Num, dl*]，将 dl 称为“入口算符”。

光标正向通过 dl 时，会产生一次光标迟滞（即按动方向键，但光标并未跳动至下一可见算符处），表明了这一隐算符的存在。而 dl* 则在后续的实验被证明出为 dl 对其的循环，实际上以 [dl, Num] 的形式存在。[^3]

通过段路入口得到可见部分为 Num 的情况时，可以进行如下操作：

1. 按前文方法调出段路入口，光标在数字左侧。
2. 按动一次 左，光标迟滞，再按动一次 左，光标移动到数字右侧。
3. DEL，输入另一个一位数字，Num2。
4. 按动 左，光标移动到新数字左侧，再按动 左，光标迟滞。

由此得到，Num 不影响隐算符的存在，而光标迟滞就是隐算符存在的重要标志。

显隐光标理论是算学研究的早起，由于不知道隐算符的存在而引入的理论。该理论认为光标具有显隐性，经过显算符（PE）后有可视的位置移动的光标为显光标，经过隐算符（pe）后，位移不可视（光标迟滞）且可以与隐算符发生作用的光标位置为隐光标。

[^3]: 若对 [dl*] 的解释感到疑惑，你将在本书的后文部分得到探究实验与解答。

段氏变换

调出段路入口后，在按动一些键的时候，可以发现出现了一种单位换算或其他算符。即调出段路入口时，将光标定位到 dl 前，按下一个字符，即可得到一个一一对应的字符。我们称为将字符 $c$ 进行了段氏变换（也叫 dzy 变换，也叫隐光标变换）得到 $D(c)$​。

部分算符，尤其是一部分带有输入框的字符，会导致半卡死，对于不会导致半卡死也不会出现乱码的字符，有如下的段氏变换表（加粗的为工程符号，ENG 和 shift+ENG 只能在复数模式实现）：

字符 $c$	变换字符 $D(c)$	字符 $c$	变换字符 $D(c)$	字符 $c$	变换字符 $D(c)$
$1$	$l.y.\triangleright m$	$2$	$m\triangleright l.y.$	$0$	$m\triangleright ua$
$3$	$mil\triangleright m$	$4$	$m\triangleright mil$	$9$	$a\triangleright m^2$
$5$	$fath\triangleright m$	$6$	$m\triangleright fath$	$y$	$ton\triangleright m^3$
$7$	$b\triangleright m^2$	$8$	$m^2\triangleright b$	$M$	$cm^2\triangleright in^2$
$Ans$	$mile^2\triangleright km^2$	$A$	$km^2\triangleright mile^2$	$($	$s\triangleright min$
$B$	$L\triangleright m^3$	$C$	$m^3\triangleright L$	$)$	$m^2\triangleright \text{勺}$
$D$	$bu\triangleright L$	$E$	$L\triangleright bu$	$\ln$	$dyn/cm^2\triangleright Pa$
$F$	$bbl\triangleright L$（UC）	$x$	$L\triangleright bbl$（UC）	$:$	$lbf/in^2\triangleright kPa$（CC）
$=_R$	$\text{尺}\triangleright m$（WC）	$+$	$m\triangleright \text{尺}$（WC）	$(-)$	$L\triangleright\text{斗}$
$-$	$\text{寸}\triangleright cm$	$\times$	$cm\triangleright\text{寸}$	$\sinh$	$dyn\cdot cm\triangleright N\cdot m$
$\div$	$\text{分}\triangleright mm$	$\div R$	$mm\triangleright\text{分}$	$\tanh^{-1}$	$kgf\triangleright N$
$\pi$	$J\triangleright kgf\cdot m$（CC）	$e$	$kgf\cdot m\triangleright J$（CC）	$Rnd$	$Gal\triangleright m/s^2$
$.$	$m\triangleright ch$	$\times10^x$	$ch\triangleright m$	$Ranint$	$kW\cdot h\triangleright J$（WC）
$\%$	$\text{合}\triangleright L$	$x!$	$L\triangleright\text{合}$	$,$	$m\triangleright fm$（UC）
$\log$	$erg\triangleright J$	$Pol$	$J\triangleright erg$	$\bold{f}$	$mile\triangleright yd$（WC）
$nPr$	$\text{町}\triangleright m$	$nCr$	$m\triangleright\text{町}$	$Rec$	$eV\triangleright J$
${}^{\circ\, '\, ''}$	$g\triangleright\text{厘}$	${}^g$	$\text{厘}\triangleright g$	$[\angle]\leftarrow i$	$m\triangleright\text{間}$
${}^\circ$	$\text{毛}\triangleright g$	${}^r$	$g\triangleright\text{毛}$	$ENG$	$Pa\triangleright kgf/cm^2$（CC）
$\sin$	$lbf/in^2\triangleright Pa$	$\cos$	$Pa\triangleright lbf/in^2$
$\tan$	$mmH_2O\triangleright Pa$	$\sin^{-1}$	$Pa\triangleright mmH_2O$
$\cos^{-1}$	$inHg\triangleright Pa$	$\tan^{-1}$	$Pa\triangleright inHg$
$\cosh$	$dyn\triangleright N$	$\tanh$	$N\triangleright dyn$
$\sinh^{-1}$	$lbf\triangleright N$	$\cosh^{-1}$	$N\triangleright lbf$
$\bold{E}$	$\text{分}\triangleright g$	$\bold{P}$	$g\triangleright\text{分}$
$\bold{T}$	$ft\triangleright in$	$\bold{G}$	$in\triangleright ft$
$\bold{M}$	$yd\triangleright in$	$\bold{k}$	$in\triangleright yd$
$\bold{p}$	$ft\triangleright mile$	$\bold{n}$	$mile\triangleright ft$（WC）
$\bold{m}$	$yd\triangleright ft$	$\bold{\mu}$	$ft\triangleright yd$

其中 UC（Unknown calculation）表示可以计算，正确性未知；WC（Wrong calculation） 表示可以计算但结果错误；CC（Correct calculation）表示可以计算且结果正确。

我们发现，段氏变换中存在一定的对偶性，表格中前四列表达的关系是对偶的，而后两列表达的关系却表现出没有符号与其产生对偶性的现象。我们将具有对偶性的称为偶子，没有对偶符号的称为奇子。一个容易想到的假说是：所有的符号其实都是偶子，然而此假说难以被验证。研究奇子和偶子也是目前基础研究的重要方向。

段氏变换在计算机处理算符时优先级很高，例如：

1. 调出段路入口，输入 Ran#，得到一串乱码，此时光标在 @ 后面。
2. 按 左，光标迟滞。
3. 按任意算符 $c$，乱码变成了 Num+D(c)+Ran#，其中 Num 为构造段路入口时使用的数字。

说明了 Ran# 被分离了出来，而段氏变换优先处理。

重要算符

@ 变量

@ 在很长的一段时间内被认为是充当运算符号的算符，而后续的研究中其表现出了变量的性质，但近年来的实验中 @ 似乎兼具隐算符和变量的一些特性。@ 的算符变量二象性是一个尚待研究的课题。

@ 的制备非常容易，因为它是多种变换的结果的简并。由前面的 Ran# 与段路入口的实验得到，一种制备 @ 的方式为：

1. 调出段路入口，输入 Ran# 得到乱码。
2. 乱码的最后一位字符为 @，将其他字符删去。

当然，如下也是一种制备 @ 的方式：

1. $\sigma$ 的打出方式：shift、7、4、9。
2. 调出段路入口，通过 $D(\sigma)$ 得到乱码和 @ 符号。
3. 删去乱码，保留 @。

还有一种制备方案为：

1. $kgf/cm^2\triangleright Pa$ 的打出方式：shift、8、下、2、5。
2. 调出段路入口，通过 $D(kgf/cm^2\triangleright Pa)$ 得到 Unknow 和 @。
3. 删去其他字符得到 @。

但是，只有如下一种方案可以制得最纯净、无隐算符、可以参与运算的 @ 符号：

1. $\varepsilon_0$ 的打出方式：shift、7、1、4。
2. 调出段路入口，通过 $D(\varepsilon_0)$​ 得到乱码和 @ 符号。
3. 删去乱码，保留 @。

制备 @ 的进阶形式 双 @ 型需要如下操作：

1. 通过 Ran# 方式调出乱码和 @。
2. 按三次 右，光标移动到 E 和 @ 之间，然后开分式。
3. 按三次 DEL 得到了一个分子空白，分母为 @，右边还有一个 @ 的双 @ 型。

@ 具有如下的性质：

1. 零分之三性：@ 的默认值是 Nan（ERROR），可以当做 0 进行运算。但是使用 calc 赋值为任意非 0 数值之后，都无法运算。可以通过用 calc 赋值+按三次 = 发现，@ 的值变为了 $\frac{3}{0}$。由此，也得出另一种使 @ 加入计算的方式，也就是将 @ 用 sto 赋值到变量中，例如 $A$，即可参与形如 $\frac{\cdots}{A}$ 的计算。
2. 代替性：@ 与某隐算符结合后（如双 @ 型），可以被数字替代。猜想与其零代性有关，用于代替未输入的字符。
3. 漏斗性：在双 @ 型上方输入与存储有关的符号（如 sto 和 M+），会移动到下方。

$ 变量

目前只发现了一种 $ 变量的制备方法：

1. $kPa\triangleright lbf/in^2$ 的打出方式：shift、8、下、2、8。
2. 调出段路入口，通过 $D(kPa\triangleright lbf/in^2)$ 得到 Unknow 和 $。
3. 删去其他部分保留 $。

这种制备方法得到的符号非常纯净。对其进行 calc 赋值，无任何异样，可以和正常变量一样参与任意代数运算。

an 算符

合成 an 算符可以在复数模式和实数模式两种方案下合成，复数模式的相对简单，下面是复数模式的制备方法：

1. 调出段路入口，使用 Ran# 调出乱码，按三次 右 将光标移动至 E 与 @ 之间。
2. 按 ENG、左（光标迟滞），然后输入任意一位数字。
3. 删去除 an 外的东西即可得到纯净的 an。

在实数环境下，合成 an 略微复杂：

1. $Pa\triangleright kgf/cm^2$ 的打出方式：shift、8、下、2、6。
2. 调出段路入口，通过 $D(Pa\triangleright kgf/cm^2)$​ 得到 Unknow 和 i。（这也是在实数环境下调出 i 的方法）
3. 左（光标迟滞）、左、右、9、左（光标迟滞）、Ran#。
4. 左（光标迟滞）、左、右、Ran#。此时光标在 Ran# 和 @ 之间。
5. 右、右，然后按三次 DEL，此时光标在 E 和 i 之间。
6. 右、左（光标迟滞），然后按任意一位数字。
7. 删去除 an 之外的东西即可得到纯净的 an。

一些算符推论

E 和其之前的大串乱码（后文简称 E 符）是由 E 前的算符删除出发运算的算符，其性质较复杂。目前猜测其由 13 个隐算符复合组成。目前能够通过实验得到的信息很少，但已知 E 前 Ran# 删除不触发运算，这一性质可以用于隔断删除 E 后的内容而不影响 E。

根据相互作用关系推理可得：

• unknow 的组成可以记为：[unknow, dl*, dl*]，写入时 [unknow, 9, dl, Ran#, dl] 会变为 E、@ 和 $D(9)$。
• Ei 的组成可以记为 [an, dl]，但目前无除制备 an 的现象之外的实验佐证这一观点。
• [Ei] + [Num] 会变为 an 和 $D(Num)$。说明了 an 的优先级低于 dl，该推论已被普遍接受。

利用这些特殊算符，可以构造很多有趣的现象，网络上有很多资源，大家感兴趣可以自行观看[^4]，小心全卡死。

[^4]: https://www.bilibili.com/video/BV1KR4y1c72z/ 有许多有趣的现象，但成因复杂，目前无理论解释

隐算符调用图鉴

不仅前表中的算符可以段氏变换，科学常数也可以进行变换，而且得到许多算符，合成的 @ 也更加纯净（回想前文中介绍的最纯净的合成 @ 方式，也是通过科学常数的段氏变换得到的）。在科学常数的段氏变换中，得到的都是 E 符和一个算符。下表是其得到的算符的图鉴（加粗的为十六进制数）：

科学常数	得到算符	科学常数	得到算符	科学常数	得到算符
$h$	$5$	$\hbar$	$8$	$c_0$	$@$
$\varepsilon_0$	$@$	$\mu_0$	$\sum$	$Z_0$	$($
$G$	$($	$l_p$	$Min$	$t_p$	$Max$
$\mu_N$	$6$	$\mu_B$	$7$	$e$	$E$
$\Phi_0$	$\int$	$G_0$	$\prod$	$K_J$	$Mean$
$R_k$	$Sum$	$m_p$	$0$	$m_n$	$1$
$m_e$	$2$	$m_\mu$	$3$	$a_0$	$4$
$\alpha$	$9$	$r_e$	$\bold{A}$	$\lambda_c$	$\bold{B}$
$\gamma_p$	$\bold{C}$	$\gamma_{cp}$	$\bold{D}$	$\lambda_{cn}$	$\bold{E}$
$R_\infty$	$\bold{F}$	$\mu_p$	$Ans$	$\mu_E$	$A$
$\mu_N$	$B$	$\mu_\mu$	$C$	$m_\tau$	$($
$u$	$M$	$F$	$D$	$N_A$	$F$
$k$	$x$	$V_m$	$y$	$R$	$PreAns$
$c_1$	$@$	$c_2$	$@$	$\sigma$	$@$
$g$	$d/dx$	$atm$	$($	$R_{K-90}$	$($
$K_{J-90}$	$($	$t$	$($

其中，计算器内置已有的函数可以使用，PreAns 和 16 进制数也可以使用，而 $\prod$ 这类高级函数不能使用。理论认为这是卡西欧厂家为了方便生产，给计算器芯片已经编写了相应函数的用法，只是在低型号的计算器禁止使用。

PreAns 可以记录上上次运算的结果。例如，我们可以通过这个与 Ans 实现斐波那契数列的构造：

1. 1、shift、8、下、2、7、=。也就是使用数字 1 实现段路入口的前两步。
2. 1、=、1、=。
3. 上、上、左、shift、7、4、6。也就是回溯到段路入口得出 PreAns 函数。
4. 左（光标迟滞）、左、左，然后按两次 DEL 得到 PreAns，右。
5. +、Ans。得到 PreAns+Ans。此时 PreAns 和 Ans 内存储的是第二步中的两个 1。
6. 反复按 =，计算器依次显示斐波那契数列中从 2 开始的各项。

而 16 进制数就是字面意思的 16 进制数，可以正常计算使用。

字表函数

我们的发现只是冰山一角。——dzy

16 进制字表

利用科学常数卡出 @ 之后，列出表达式：x:@=10000??23（显然，此处的等号为红等号，即 ALPHA+CALC），其中 ?? 为两个代填的十六进制数字，这两位数字决定了字表得到的函数。打出这个表达式之后：CALC、=、=、AC、下（此处等于为正常的等于号），就可以得到字表对应的函数。

16 进制字表函数如下：

为了做到在标准模式和 @ 同时获得多个十六进制数。需要用到连续变换技巧。

由理论知识，隐光标的变换只能变换一个字符，若需要同时变换需要满足算符隔断和非等号触发两个条件。而前文中的例子可以体现出 E 符具有可隔断性和 DEL 键触发性，通过显光标移动实现隔断 E 符与 DEL 触发。

由于在实践中发现，E 符无运算性质，但利用任意字符对其触发 DEL 触发后，就可以对这个字符进行一次段氏变换，且保留 E 符本身。于是有推测认为 E 符的结构为：[delo -> dl]。其中 delo 为删除出发的算符，对应显光标变换；光标从右到左运动时首先与 dl(pe) 作用而不与 delo 作用，从而形成一个隐光标变换。

连续变换的具体操作就是反复利用 E 符的隔断与 DEL 触发，从而连续合成需要的算符。这里以 $\bold{A}\bold{B}@$ 为例子，注意反序制备（先得到 @ 再得到 $\bold{B}$ 再得到 $\bold{A}$），操作为：

1. $c_2$ 的打出方式为：shift、7、4、8。
2. 调出段路入口，通过 $D(c_2)$ 得到 E 符和 @。
3. 左（光标迟滞）、左、右，光标在 E 个 @ 之间，隔断 E 符和 @。
4. shift、7、3、8 得到 $\lambda_c$（也就是隐算符图鉴中 $\bold{B}$ 对应科学常数）。
5. 左，输入任意一位数，此时光标在此数与 $\lambda_c$ 中间。
6. DEL（此数被删去且触发 delo 将 $\lambda_c$ 生成为 $\bold{B}$），左（光标迟滞）、左、右、右 用光标隔断 E 和 B。
7. shift、7、3、7 得到 $r_e$（也就是隐算符图鉴中 $\bold{A}$ 对应科学常数）。
8. 左，输入任意一位数，DEL（此数被删去且触发 delo 将 $r_e$ 生成为 $\bold{A}$）。
9. 删去多余部分即可。

在实际实现 16 进制字表转换时，@ 符在结果中排第一个，也就是最后一个制备，但此方法一开始就会得到 @，没有关系，额外制备一个，把最开始的删掉即可。

16 进制字表中有及其大量的高级函数，和隐算符图鉴里的一样不能使用。